1.1 数学的诞生

数学有着久远的历史。从原始社会开始，人类就在绳子上打结，以便记数；在地上画图，测量大小。“结绳记数”开创了数字的最早概念，“土地测量”等生产活动的需求，使几何学应运而生。

距今数千年前的古埃及和古巴比伦地区，已经出现了相当丰富的几何知识。例如图 1-1 所示的《普林顿 322》是一块古巴比伦泥板，上面的表格记录了多组勾股数，也就是满足 $a^2+b^2=c^2$ 的正整数 $a$、$b$、$c$。这些文献距今已近四千年，堪称人类最早的数学文明。

不过，这些“史前数学”留下的资料有限，许多成果的作者无从考证。若要追溯数学作为一门现代学科的起源，则要等到两千多年后的古希腊。

诸神眷顾的半岛

当今世界人口超过 70 亿。根据人类演化历史的研究，这几十亿人口，来源于一个共同的祖先“非洲人”。

后来，人类祖先以双脚走出非洲迁徙到世界各地，沿河聚居，建立城市和国家，几个文明古国先后出现。尽管多种人类文明独立诞生于不同的地区，各自特色不一，但作为人类文明思想精华之一的“科学”，却起源于唯一的一个地方：古希腊！

那么，科学为什么偏偏在古希腊萌芽？答案与古希腊的地理环境有关！

以“科学之父”泰勒斯的家乡米利都为例，它位于小亚细亚西岸，濒临爱琴海。曲折的海岸线、众多岛屿和天然港湾，为航海与贸易提供了便利。频繁的海上往来不仅带来了商品，也带来了埃及、巴比伦等古老文明的知识与思想。不同文明在这里不断碰撞、融合，最终孕育出一种独特的、带有鲜明海洋色彩的古希腊文明。

若要直观领略古希腊哲学家们的风采，最好的莫过于拉斐尔于 1509—1511 年在梵蒂冈宗座宫签字厅创作的传世名画《雅典学院》。拉斐尔将不同时代的哲学家、数学家和学者汇聚在同一座宏伟建筑中，构建出一座理想化的“知识殿堂”。

画面正中央是柏拉图和亚里士多德。柏拉图左手夹着《蒂迈欧篇》，右手指向天空，象征他所追求的理念世界；亚里士多德左手拿着《尼各马可伦理学》，右手掌心向下，象征他更关注现实世界与具体事物。两人的手势，形象地展现了古希腊哲学中两种不同的思想取向。

画面左侧，与身边人辩论的是苏格拉底；左下方低头研究数学与音乐比例关系的是毕达哥拉斯。右下方，欧几里得正俯身拿着圆规，为学生讲解几何。他的身后，手捧地球仪的是托勒密，旁边手持天球的是琐罗亚斯德。画面中央的台阶上，斜躺着一个看似与周围格格不入的人，他是古希腊犬儒学派的代表人物第欧根尼。传说他生活极为简朴，住在一个大陶瓮里。有一天，亚历山大大帝前来看望他，表示愿意满足他的任何愿望。第欧根尼却只说了一句：“请您让一让，别挡住我的阳光。”

《雅典学院》还藏了一个“彩蛋”：画面右下角的柱子旁，那个头戴黑帽、转头望向画外的人，正是拉斐尔本人。我们不妨想象一下他此刻的心声：“真遗憾啊，晚生了两千年！我多么希望能生活在那个群星璀璨的时代！”

虽然我们无缘亲历那个时代，但仍然可以也应该认识一些在哲学与科学萌芽时期作出开创性贡献的伟大思想家。

科学和哲学之父

泰勒斯是米利都学派（Milesian school）^[1]的创始人，古希腊七贤之一，是历史上记载的第一个用观察和逻辑解释自然现象的人，被后人誉为“科学和哲学之父”。

泰勒斯最著名的哲学观点是“水是万物之本”。这个学说在今人看来不免有些荒诞，却有着巨大的历史意义：

• 首先，在思想方法上，泰勒斯偏离了当时流行的神创万物的思路，用自然本身解释自然。考虑到今天仍有数以十亿计的人相信神创万物，这一步更显卓然。
• 其次，在认识方法上，泰勒斯试图从纷繁的现象背后找出一个共同的本原，以简单的原理解释复杂的世界，引用英国古典学者基托（H. D. F. Kitto）在《希腊人》中所说：：

这种追求统一解释的思想、相信自然界存在内在秩序的观念，在笔者看来是西方科学精神的重要源头之一。

2014 年，英国上映一部名为《万物理论》的电影，讲述理论物理学家史蒂芬·霍金的生平。从某种意义上说，霍金和爱因斯坦都是泰勒斯的现代传人。爱因斯坦后半生致力于研究统一场论，希望找到一个能够解释宇宙万物的统一理论，结果爱因斯坦皓首穷经后半生，一无所获！也许历史终将证明，所谓“万物理论”，不过是人类不自量力的一次尝试。但不可否认，这种理解世界的渴望，是推动人类文明进步的动力之一。

泰勒斯对数学的贡献

泰勒斯在数学方面的划时代贡献，是将“证明”的思想引入几何研究。据后世记载，他曾证明过以下几何命题：

• 直径将圆二等分；
• 等腰三角形的两个底角相等；
• 两条直线相交时，对顶角相等；
• 两个三角形若有两角及其夹边分别相等，则全等；
• 直径所对的圆周角是直角。

这些命题未必都是泰勒斯首先发现的，古埃及人和巴比伦人很早就掌握了其中一些。以“两条直线相交时，对顶角相等”为例。在古希腊之前，人们大多把它看作显而易见的事实；如果有人怀疑，就把其中一个角剪下来，叠到另一个角上，以此说明两者相等。

证明提供了另一种方法。如下图所示，要证明 $\angle a=\angle b$，可以这样推理：$\angle a+\angle c$ 等于平角，$\angle b+\angle c$ 也等于平角；所有平角都相等，根据“等量减去等量，余量相等”，从两边同时减去 $\angle c$，便得到 $\angle a=\angle b$。

与凭经验得出结论相比，证明的意义主要体现在两个方面：

• 其一，证明能够确认定理的普适性。例如，泰勒斯定理指出“直径所对的圆周角是直角”。如果没有经过证明，我们只能知道这个结论在某些情况下成立，无法确定它是否适用于所有情况；只有通过严格的推理，才能确认这里的“圆周角”指的是任意一个由直径所对的圆周角。
• 其二，证明能够揭示不同几何事实之间的内在联系。一个结论可以从另一个结论推导出来，已经证明的定理又可以成为证明新定理的依据。如此层层递进，原本散落的几何知识便逐渐形成一个相互联系的理论体系。打个比方，未经证明的几何事实，就像散落在地上的一堆砖头；证明把这些砖头彼此连接起来，最终建成一座建筑。

在那个神话和迷信仍广泛支配人们认识世界的时代，泰勒斯是已知最早把演绎推理用于几何的人。自他之后，古希腊数学逐渐走上了逻辑证明的道路，一个属于演绎推理的美妙世界由此展开。

毕达哥拉斯学派

大约公元前 570 年，毕达哥拉斯出生在商业发达的萨摩斯岛，父亲做生意不差钱，总体来说，人生开局很顺。20 岁左右，他前往米利都求学，希望拜泰勒斯为师，但两人相差五十岁，年迈的泰勒斯对这个年轻人的到来不感兴趣（老了，躺平了），建议他前去东方（古埃及）寻找宇宙的真谛。

古埃及是数学发源地，公元前 3000 年那里的人们便开始使用数学，在那里最早出现了数字，也出现了第一部数学著作《莱因德纸草书》（公元前 1600 年）总之古埃及的数学非常辉煌，吸引毕达哥拉斯前往。毕达哥在外游学 19 年，回到故乡萨摩斯之后，开始传经布道，广收弟子，建立了影响世界数千年的“毕达哥拉斯学派”。

据说，毕达哥拉斯述而不著，并禁止门徒外泄学说，因此他的生平和思想长期笼罩在神秘之中。这种神秘给后世留下了巨大的想象空间。后来，许多原本属于他人、甚至整个学派的思想和事迹，都被附会到他的身上，以至于他最终被神化为下凡救世的阿波罗神。毕达哥拉斯本人也毫不谦逊，他曾说：“世上既有人，也有神，还有像毕达哥拉斯这样的生物。”言外之意，自己是半神。

据说，学派有两句著名格言：“什么是智慧？只有数目。”“什么最美好？只有和谐。”在他们看来，宇宙万物都遵循数的规律，无论是音乐的和谐，还是天体的运行，都可以用数及其比例关系来解释。

毕达哥拉斯学派发现，琴弦发出的音高与弦长有关，而和谐的音程往往对应着简单的整数比例。例如，在琴弦材料、张力等条件相同的情况下，将琴弦的有效长度缩短一半，声音便升高一个八度；缩短至三分之二，则得到纯五度。原本依靠听觉感受的音乐和谐，竟然可以用如此简单的数学关系来解释。学派还将这一思想推广到天文学。他们认为，既然音乐的和谐可以用数的比例来解释，那么天体的运行也应当遵循某种数学秩序，由此产生了著名的 “天体和谐” 学说。在他们看来，整个宇宙如同一件巨大的乐器，天体按照特定的秩序运行，共同构成一种宏伟的和谐。

毕达哥拉斯学派的学说将音乐、天文学与算术、几何联系起来，使这四门学科有了共同的数学基础。直到中世纪，这四门学科依然被作为教士学习的基础课程，被称为 “四艺”（Quadrivium）。

在对数与形的研究中，毕达哥拉斯学派发现了数学史上最著名定理。相传，有一天毕达哥拉斯受邀到一位贵族家中赴宴。华丽的地板吸引了他的目光，他盯着铺满地面的正方形地砖，望着地砖的对角线陷入了沉思。突然，他意识到一个奇妙的关系：直角三角形斜边的平方，恰好等于另外两条直角边的平方之和。毕达哥拉斯定理就这样诞生了^[1:1]。传说毕达哥拉斯为此欣喜若狂，甚至宰杀了一百头牛祭神庆祝。因此，这个定理又被称为**“百牛定理”**。

数学的诞生

如前所述，学派认为一切和谐皆可用整数及其比例表达，对于整数和比例完美和谐的追求几乎让毕达哥拉斯学派的成员丧失了理智。

这种极高的崇拜和信仰导致了毕达哥拉斯学派的一次巨大的危机，那便是求边长为1的正方形的对角线长度，这引入了该学派的噩梦——无理数。

无理数的发现直接冲击学派的信仰，引发了数学史上的第一次数学危机。

具体由哪位学生最先发现，已无从确考，传说指向希帕索斯（Hippasus）。据说他试图找出一个等腰直角三角形，使三条边长都是自然数。因两直角边相等，可记其长为 $x$，斜边为 $y$。由毕达哥拉斯定理得 $x^2+x^2=y^2$，于是希帕索斯的问题转化为：是否存在自然数 $x$、$y$，使得 $2\times x^2=y^2$？我们不妨先在 4 以内试一试（见表）。

在上表所有的情况里， $2\times x^2$ 都不等于 $y^2$。我们还可以在更大的数字范围内寻找，笔者相信毕达哥拉斯学派肯定找了很久，但没有找到解。后来，他们终于相信这个解不存在。

他们又是如何确信解不存在的呢？显然不可能靠遍历全部数对，因为这样的组合无穷无尽，即便搜遍 1,000、10,000，乃至 100 万，也不过是无穷中的有限一隅。让我们来重新构建一个新的思路，也许毕达哥拉斯学派就是由此得出结论。

我们先假定有解，看它会不会自相矛盾。传说中，希帕索斯正是用反证法证明了 $\sqrt{2}$ 不是有理数。大致过程如下：

上述方法是数学史上反证法最著名的应用之一，其意义不可小觑。

相比美索不达米亚泥板上记录的数学问题，大多与粮食分配、土地丈量等现实事务有关，数学首先是一种解决实际问题的工具。而在上面的证明中，与任何实际事物都相关，研究对象就是“数”本身。人们甚至不需要真正算出 $\sqrt{2}$ 等于多少，依靠几个前提和一步步的逻辑推理，就可以证明某件事情绝不可能发生。这种研究对象和研究方法的变化，意味着抽象的数学对象开始与现实中的具体事物分离。这场分离，使数学得以超越单纯作为计算工具的局限，开始借助逻辑推理研究自身的规律，并在现实问题之外获得继续发展的动力。

不过，对于毕达哥拉斯学派来说，$\sqrt{2}$ 的出现首先不是惊喜，而是麻烦。他们还没有准备好放弃“整数及其比例构成世界基础”的观念。按照后世流传的故事，希帕索斯因公开不可通约量的秘密而被扔进地中海淹死；学派则声称，这是他触怒了他们所信奉的“整数之神”而受到的惩罚。

可以想见，$\sqrt{2}$ 之后，必然会有$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$、$\sqrt{6}$ 越来越多的无理数被发现。为了逃避这场危机，古希腊人从偏重算术逐渐转向偏重几何研究。在算术里，像 $\sqrt{2}$ 这样的数无法用整数比表示，但在几何中，它却可以很自然地表示为边长为 1 的正方形的对角线。借助线段、图形以及它们之间的关系，古希腊人得以绕开对这些数本身的直接表示，通过几何和演绎推理研究这些“不可通约”的量。

至于无理数，古希腊人虽然通过几何找到了处理不可通约量的方法，却始终没有建立起现代意义上的实数体系。这个问题直到 19 世纪才真正得到解决。1872 年，德国数学家理查德·戴德金（Richard Dedekind）提出著名的“戴德金分割”（Dedekind cut）^[2]，从有理数出发严格定义无理数，并由此构造出完整的实数体系。几乎与此同时，康托尔等数学家也从不同道路建立了实数理论。至此，持续 2000 多年的第一次数学危机就此落下帷幕！

古希腊数学的启示

毕达哥拉斯定理以及几何学的发展，是古希腊数学辉煌成就的重要体现。但古希腊人的伟大，并不只在于发现了多少定理。其他文明同样很早就积累了丰富的数学知识。例如，《九章算术》总结了包括勾股术在内的大量计算方法；到了公元五世纪，祖冲之又将圆周率精确到小数点后七位。这些成就固然了不起，但遗憾的是因为不强调形式逻辑，没有发展出演绎、证明、公理化等方法，因而未成大器。

引用爱因斯坦论“科学为何没有起源于中国”所说的话：

简而言之，爱因斯坦是说，科学发源于古希腊文化，是基于两个必要条件：形式逻辑体系和系统实验。 爱因斯坦所强调的“形式逻辑”，恰恰是中国传统思维中相对欠缺的一环。

中国人的思维方式基本上属于直观的形象思维，而西方人更重视逻辑思维。从逻辑学角度来看，中国人更偏向于辩证逻辑，而西方人更偏重形式逻辑。辩证逻辑和形式逻辑各有所长，但形式逻辑是基础。没有形式逻辑的约束，所谓“辩证”很容易沦为狡辩。换言之，中国人的思维方式有一定的缺陷。所以，很有必要了解古希腊数学的发展史，弄明白数学和科学的根本精神，方能克服我们思维之不足。